Question

【题目】如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2 ， 点A，B的对应点分别为点D，E．

（1）直接写出点A，C，D的坐标；
（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得：

将A（m，1）代入y1=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1，

解得：m1=2，m2=0（舍），

∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；

（2）

解：如图1，

由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴，

若四边形ABDE为矩形，则BC=CD，

∴BM2+CM2=BC2=CD2，

∴12+（﹣a）2=22，

∴a= ，

∵y1抛物线开口向下，

∴a=﹣ ，

∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣ ），

∴设y2=a（x+1）2+1﹣ ，则a= ，

∴y2= x2+2 x+1；

（3）

解：如图2，

当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD，

得BQ= ，DQ=3，则BD=2 ，

∴∠BDQ=30°，

∴PH= t，PG= t，

∴S= （PE+PF）×DP= t2，

如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G= （t﹣1），E′F=2（t﹣1），

S不重合= （t﹣1）2，

S=S1+S2﹣S不重合= + （t﹣1）﹣ （t﹣1）2，

=﹣

综上所述：S= t2（0≤t≤1）或S=﹣ （1＜t≤2）．

【解析】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质和矩形对角线的性质，以及三角函数及特殊角的应用，综合性较强；善于从已知中挖掘隐藏条件是本题的关键：如此题可以计算矩形的边长及对角线与边的夹角，得出30°，以此为突破口，将需要的边长用t表示，得出函数关系式；另外本题还运用了分类讨论的思想，这在二次函数中运用较多，应熟练掌握．（1）直接将点A的坐标代入y1=ax2﹣2ax+1得出m的值，因为由图象可知点A在第一象限，所以m≠0，则m=2，写出A，C的坐标，点D与点A关于点C对称，由此写出点D的坐标；（2）根据顶点坐标公式得出抛物线y1的顶点B的坐标，再由矩形对角线相等且平分得：BC=CD，在直角△BMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y1的解析式，由旋转的性质得出抛物线y2的解析式；（3）分两种情况讨论：①当0≤t≤1时，S=S△GHD=S△PDH+S△PDG ， 作辅助线构建直角三角形，求出PG和PH，利用面积公式计算；②当1＜t≤2时，S=S直角三角形+S矩形﹣S不重合 ， 这里不重合的图形就是△GE′F，利用30°角和60°角的直角三角形的性质进行计算得出结论．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质和矩形的性质，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等即可以解答此题．