Question

【题目】在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．

（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；
（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，

∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边

形A′B′OC′，点A的坐标是（0，4），

∴点A′的坐标为（4，0）．

∵抛物线过点C，A，A′，设抛物线的函数解析式为

y=ax2+bx+c（a≠0）可得：

，解得： ，

∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+3x+4．

（2）

解：如图2中，连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y=kx+b，

可得： ，解得： ，

∴直线AA′的函数解析式是y=﹣x+4．

设M（x，﹣x2+3x+4），作MN∥y轴交AA′于N，则N（m，﹣m+4），

S△AMA′= ×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2（x﹣2）2+8，

∵﹣2＜0，

∴x=2时，△AMA′的面积最大，最大面积为8，

∴M（2，6）．

（3）

解：如图3中，

设P点的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当P、N、B、Q构成平行四边形时，

①当BQ为边时，PN∥BQ 且PN=BQ，

∵BQ=4，

∴﹣x2+3x+4=±4．

当﹣x2+3x+4=4时，x=0或3，

可得P1（0，4），P2（3，4）；

当﹣x2+3x+4=﹣4时，x= ，可得P3（ ，﹣4），P4（ ，﹣4）．

②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P1，P2的坐标不变；

当这个平行四边形为矩形时，即P1（0，4），P2（3，4），N1（0，0），N2（3，0）．

综上所述，当P1（0，4），P2（3，4），P3（ ，﹣4），P4（ ，﹣4）．时，P、N、B、Q构成平行四边形；

当这个平行四边形为矩形时，N1（0，0），N2（3，0）．

【解析】（1）先确定C，A，A′三点坐标，利用待定系数法，转化为解方程组即可．（2）如图2中，连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y=kx+b，设M（x，﹣x2+3x+4），作MN∥y轴交AA′于N，则N（m，﹣m+4），构建二次函数后利用二次函数的性质解决问题即可．（3）分两种情形讨论即可．①当BQ为边时，PN∥BQ 且PN=BQ，由BQ=4，可得﹣x2+3x+4=±4．解方程可以得到点P的横坐标．②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P1 ， P2的坐标不变；当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标利用图象即可解决．