Question

【题目】我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A.6
B.8
C.10
D.12

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B， ∴B（0，4 ），
∴OB=4 ，
在RT△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA= OB= × =12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
∴PM= PA，
设P（x，0），
∴PA=12﹣x，
∴⊙P的半径PM= PA=6﹣ x，
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．
故选：A．

根据直线的解析式求得OB=4 ，进而求得OA=12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30°，求得PM= PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．