Question

【题目】如图①，已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣4的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求点C的坐标及a 的值；
（2）如图②，抛物线C2与C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移4个单位，得到抛物线C3 ． C3与x轴交于点B、E，点P是直线CE上方抛物线C3上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交CE于点F．
①求线段PF长的最大值；
②若PE=EF，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：顶点C为（﹣1，﹣4）．

∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0=a（1+1）2﹣4，解得，a=1；

（2）解：①∵C2与C1关于x轴对称，

∴抛物线C2的表达式为y=﹣（x+1）2+4，

抛物线C3由C2平移得到，

∴抛物线C3为y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5，

∴E（5，0），

设直线CE的解析式为：y=kx+b，

则 ， ，

∴直线CE的解析式为y= ，

设P（x，﹣x2+6x﹣5），则F（x， ），

∴PF=（﹣x2+6x﹣5）﹣（ ）=﹣x2+ x﹣ =﹣（x﹣ ）2+ ，

∴当x= 时，PF有最大值为 ；

②若PE=EF，∵PF⊥x轴，

∴x轴平分PF，

∴﹣x2+6x﹣5=﹣ ，

解得x1= ，x2=5（舍去）

∴P（ ， ）．

【解析】（1）由抛物线的顶点式得到顶点C的坐标；由点B（1，0）在抛物线上，求出a的值；（2）①由C2与C1关于x轴对称，得到抛物线C2的表达式，抛物线C3由C2平移得到，得到抛物线C3的解析式，得到E点的坐标，直线CE的解析式，求出PF的最大值；②若PE=EF，∵PF⊥x轴，得到x轴平分PF，求出P点的坐标；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.