Question

【题目】如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．

（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．

所以双曲线的解析式为y=﹣ ．

设点B的坐标为（m，﹣m）．

∵点B在双曲线上，

∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．

∵点B在第四象限，

∴m=2．

∴B（2，﹣2）．

将点A、B、C的坐标代入得： ，

解得： ．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．

（2）解：如图1，连接AC、BC．

令y=0，则x2﹣3x=0，

∴x=0或x=3，

∴C（3，0），

∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，

∵点D是直线AB与x轴的交点，

∴D（1，0），

∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；

（3）解：存在，理由：如图2，

由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣ ）2﹣ ，

∴原抛物线的顶点坐标为（ ，﹣ ），

∴抛物线向左平移 个单位，再向上平移 个单位，

而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），

∴平移后点A（﹣ ， ），B（ ， ），

∴点A关于y轴的对称点A'（ ， ），

连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，

由对称性知，∠APE=∠BPE，

∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，

∵B（ ， ），A'（ ， ），

∴直线A'B的解析式为y=3x﹣ ，

∴P（0，﹣ ）．

【解析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；
（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；
（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.