Question

【题目】夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．
（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，

∴由题意可得出，第x天生产空调y台，y与x之间的函数解析式为：y=40+2x（1≤x≤10）；

（2）解：当1≤x≤5时，W=（2920﹣2000）×（40+2x）=1840x+36800，

∵1840＞0，

∴W随x的增大而增大，

∴当x=5时，W最大值=1840×5+36800=46000；

当5＜x≤10时，

W=[2920﹣2000﹣20（40+2x﹣50）]×（40+2x）=﹣80（x﹣4）2+46080，

此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随着x的增大而减小，又天数x为整数，

∴当x=6时，W最大值=45760元．

∵46000＞45760，

∴当x=5时，W最大，且W最大值=46000元．

综上所述：W= ．

【解析】（1）根据接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，直接得出生产这批空调的时间为x天，与每天生产的空调为y台之间的函数关系式；（2）根据基本等量关系：利润=（每台空调订购价﹣每台空调成本价﹣增加的其他费用）×生产量即可得出答案．