Question

【题目】在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．
（1）若四边形ABCD为正方形．
①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；

（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）[ "①DF= AE
②解:理由如下：
∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，
∴∠ABE=∠DBF，
∵ = ， = ，
∴ = ，
∴△ABE∽△DBF，
∴ = = ，
即DF= （2）

解：如图3，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC=mAB，

∴BD= = AB，

∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∴△BEF∽△BAD，

∴ = ，

∴ = = ，

∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，

∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，

∴ = = ，

∴△ABE′∽△DBF′，

∴ = = ，

即DF′= AE′．

【解析】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BF= AB，
∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形，
BF= BE，
∴BD﹣BF= AB﹣ BE，
即DF= AE；
所以答案是DF= AE；