Question

【题目】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P（不与A、B重合），连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交线段BC于点E，设AP=x．

（1）当x为何值时，△APD是等腰三角形？

（2）若设BE=y，求y关于x的函数关系式；

（3）若BC的长a可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若不存在，请说明理由；若存在，写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C，并求出相应的AP的长．

Answer 1

【答案】（1）当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形；

（2）；

（3）

【解析】

试题分析：（1）表示出PH，然后分①当AP=AD时，②当AD=PD时，根据等腰三角形三线合一的性质，AH=PH，列式进行计算即可得解；③当AP=PD时，表示出PH，然后在Rt△DPH中，根据勾股定理列式进行计算即可得解；

（2）根据同角的余角相等求出∠HDP=∠EPB，再根据两角对应相等，两三角形相似求出△DPH和△PEB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理即可得解；

（3）根据PQ过点C时，BE=4，代入（2）的BE的表达式，再根据一元二次方程的解确定即可．

解：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6，

∴AH=2，AD=2，

∵AP=x，

∴PH=x﹣2，

情况①：当AP=AD时，即x=2，

情况②：当AD=PD时，则AH=PH，

∴2=x﹣2，

解得x=4，

情况③：当AP=PD时，则Rt△DPH中，x2=42+（x﹣2）2，

解得x=5，

∵2＜x＜8，

∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形；

（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，

∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°，

∴∠HDP=∠EPB，

又∵∠DHP=∠B=90°，

∴△DPH∽△PEB，

∴，

∴，

整理得：；

（3）存在，

由（2）得△DPH∽△PEB，

∴，

∴y=，

当y=a时，（8﹣x）（x﹣2）=a2，即x2﹣10x+（16+a2）=0，△=100﹣4（16+a2）≥0，

即100﹣64﹣4a2≥0，

即a2≤9，

又∵a＞0，

∴0＜a≤3，

∴当BC满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C，

此时，AP的长为．