Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，将抛物线的对称轴绕着点（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于两点，点是该抛物线上的一点．

（1）求两点的坐标。

（2）如图①，若点在直线的下方，求点到直线的距离的最大值；

（3）如图②，若点在轴左侧，且点是直线上一点，当以为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的的值．

Answer 1

【答案】(1) A（-1,1） B（2,4）;(2) ; (3) t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．

【解析】分析：(1)根据题意易得点M、P的坐标,利用待定系数法来求直线AB的解析式;(2)如图①,过点Q作x轴的垂线QC,交AB于点C,再过点Q作直线AB的垂线,垂足为D,构建等腰直角△QDC,利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答;(3)根据相似三角形的对应角相等推知: △PBQ中必有一个内角为45°;需要分类讨论: ∠PBQ=45°和∠PQB=45°;然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答.另外,以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT 相似也有两种情况: △ ∽△PAT、△∽△PAT.

详解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．

∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得

，

解得． 故直线AB的解析式为y=x+2；

联立 ，解得

∴ A（-1,1） B（2,4）.

（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=QC．

设Q（m，m2），则C（m，m+2）．

∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，

QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．

故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为；

（3）∵∠APT=45°，

∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．

①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°．

∵Q′（﹣2，4），F（0，4），

∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形．

（i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；

（ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．

②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；

先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．

则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．

设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得 n2+（4﹣n20=22，即n4﹣7n2+12=0．

解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）．

可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，

所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°． 则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．

（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E． 则ET=AE=，OE=1，

所以OT=﹣1，解得t=1﹣；

（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．

设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=，

∴a+a=，

解得PT=a=﹣1，

∴OT=OP﹣PT=3﹣，

∴t=3﹣．

综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．