Question

【题目】在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD．

（2）如图1，在（1）的条件下，若CD＝2BD，S△ABD＝10，求△BCE的面积．

（3）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，猜想线段AB、AC、AN之间的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）90；（3）AC＝AB+2AN，见解析

【解析】

（1）角平分线的定义得出∠BAD＝∠CAD，由平行线的性质得出∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，则∠E＝∠ACE，由等腰三角形的性质得出AC＝AE，AF⊥EC，推出，即可得出结论；

（2）求出BC＝3BD，证出△ABD∽△EBC，则，即可得出结果；

（3）延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，则∠MBF＝∠C，∠F＝∠MNC，由中点得出BM＝CM，由AAS证得△BFM≌△CNM得出BF＝CN，由MN∥AD，得出∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠MNC＝∠ANE，则∠E＝∠ANE＝∠F，得出AE＝AN，BE＝BF，推出BF＝AB+AN，即可得出结论．

（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵CE∥AD，

∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，

∴∠E＝∠ACE，

∴AC＝AE，

∵F为EC的中点，

∴AF⊥EC，

∵AD∥EC，

∴，

∴AF⊥AD；

（2）解：∵CD＝2BD，

∴BC＝3BD，

∴AD∥CE，

∴△ABD∽△EBC，

∴，

∴；

（3）解：AC＝AB+2AN；理由如下：

延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，如图2所示：

∴∠MBF＝∠C，∠F＝∠MNC，

∵M为BC的中点，

∴BM＝CM，

在△BFM和△CNM中，

，

∴△BFM≌△CNM(AAS)，

∴BF＝CN，

∵MN∥AD，

∴，∠CAD＝∠MNC＝∠ANE，

∴∠E＝∠ANE＝∠F，

∴AE＝AN，BE＝BF，

∴BF＝AB+AN，

∴．