Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD=120°，BC=2，AD=DC．P为四边形ABCD边上的任意一点，当∠BPC=30°时，CP的长为 ．

Answer 1

【答案】2或2 或4
【解析】解：如图，连接AC．

∵BC∥AD，∠DCB=120°，

∴∠D+∠DCB=180°，

∴∠D=60°，

∵DC=DA，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°，

∵AB⊥BC，

∴∠CBA=∠BAD=90°，

∴∠BAC=30°，

∴当P3与A重合时，∠BP3C=30°，此时CP3=4，

作CP2⊥AD于P2，则四边形BCP2A是矩形，

易知∠CP2B=30°，此时CP2=2 ，

当CB=CP1时，∠CP1B=∠CBP1=30°，此时CP1=2，

综上所述，CP的长为2或2 或4．

所以答案是2或2 或4．

【考点精析】本题主要考查了含30度角的直角三角形和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．