Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）如图①，已知折痕与边BC交于点A，若OD=2CP，求点A的坐标．

（2）若图①中的点 P 恰好是CD边的中点，求∠AOB的度数．

（3）如图②，在（I）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M与P，O不重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度（直接写出结果即可）.

Answer 1

【答案】（1）A（10，5）；（2）∠AOB=30°；（3）线段EF的长度不变，它的长度为2．

【解析】试题分析：（1）设OB=OP=DC=x，则DP=x﹣4，在Rt△ODP中，根据OD2+DP2=OP2，解得：x=10，然后根据△ODP∽△PCA得到AC==3，从而得到AB=5，表示出点A（10，5）；

（2）根据点P恰好是CD边的中点设DP=PC=y，则DC=OB=OP=2y，在Rt△ODP中，根据OD2+DP2=OP2，解得：y=，然后利用△ODP∽△PCA得到AC=，从而利用tan∠AOB=得到∠AOB=30°；

（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB，最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变．

试题解析：（1）∵D（0，8），∴OD=BC=8，

∵OD=2CP，∴CP=4，

设OB=OP=DC=x，则DP=x﹣4，

在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，即：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，

∵∠OPA=∠B=90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC=DP：CA，

∴8：4=（x﹣4）：AC，则AC==3，

∴AB=5，

∴点A（10，5）；

（2）∵点 P 恰好是CD边的中点，

设DP=PC=y，则DC=OB=OP=2y，

在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，即：82+y2=（2y）2，解得：y=，

∵∠OPA=∠B=90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC=DP：CA，∴8：y=y：AC，

则AC= ，∴AB=8﹣=，

∵OB=2y=，∴tan∠AOB===，

∴∠AOB=30°；

（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，

∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP，∴MP=MQ，

∵BN=PM，∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．

∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中， ，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF=QB，

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB==4，

∴EF=PB=2，

∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．