Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.

（1）求证：EF=FM；

（2）当AE=1时，求EF的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由旋转的性质可知，DE=DM，∠EDM=90°，因为∠EDF=45°，所以∠FDM=∠EDM=45°，通过证明△DEF≌△DMF得到EF=MF；

（2）设EF=MF=x，则BF=4-x，BE=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得到关于x的等式，解得x的值即可．

试题解析：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，

∴DE=DM，∠EDM=90°，

∴∠EDF+∠FDM=90°，

∵∠EDF=45°，

∴∠FDM=∠EDM=45°，

在△DEF和△DMF中，

DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，

∴△DEF≌△DMF（SAS），

∴EF=MF；

（2）设EF=MF=x， ∵AE=CM=1，且BC=3，

∴BM=BC+CM=3+1=4，

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，

∵EB=AB-AE=3-1=2，

在Rt△EBF中，由勾股定理得EB+BF=EF， 即2+（4-x）=x，

解得：x=， 则EF=．