Question

【题目】如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.

(1)如果∠A=80，求∠BPC= .

(2)如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示) .

(3)将直线MN绕点P旋转。

(i)当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。

(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问(i)中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。

Answer 1

【答案】130°；

（2）90°﹣∠A

（3）（i）∠MPB+∠NPC=90°﹣∠A，理由见解析.

（ii）不成立，有∠MPB﹣∠NPC=90°﹣∠A．

理由见解析.

【解析】试题分析: （1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线定义得到 ，再利用三角形内角和定理得，然后把∠A的度数代入计算；

（2）根据平角定义得 ，然后根据（1）的求解；

（3）（ i）∠与（2）的说理一样；

（ⅱ）有结论 ．

本题解析：(1)

故答案为：

(2)由 = 得∠MPB+∠NPC= ∠BPC=1( + ∠A)= ∠A；故答案为：∠MPB+∠NPC=∠A.

(3)(i)∠MPB+∠NPC=∠A.

理由如下：

∵∠BPC=+12∠A，

∴∠MPB+∠NPC=∠BPC=180(+∠A)= 12∠A.

(ii)不成立,有∠MPB∠NPC=∠A.

理由如下：由题图④可知∠MPB+∠BPC∠NPC=，

由(1)知：∠BPC=+∠A，∴∠MPB∠NPC=∠BPC=(+∠A)= ∠A.