Question

【题目】如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．

（1）判断△AOG的形状，并予以证明；
（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；
（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为（3，1），求点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：△AOG的形状是等腰三角形，

理由如下：

∵AC∥y轴，

∴∠CAO=∠GOA，

∵AO平分∠BAC，

∴∠CAO=∠GAO，

∴∠GOA=∠GAO，

∴AG=OG，

∴△AOG是等腰三角形

（2）解：如图1，接连BC，过O作OE⊥AB于E，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵B、C关于y轴对称，AC∥y轴，

∴AC⊥BC，

在Rt△COD和Rt△BOE中，

，

∴△COD≌△BOE（HL），

∴∠DCO=∠EBO，

∴∠BAC+∠BOC=180°，

设∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，

∴2x+∠BOC=180°，

又∵2y+∠BOC=180°，

∴x=y，故∠OAC=∠OBC，

∴∠AOB=∠ACB=90°，

∴AO⊥OB

（3）解：如图2，连BC，作MF⊥x轴于F，BH⊥x轴于H，

则∠ACB=90°，

∵∠ACM=45°，

∴CM平分∠ACB，又AM平分∠BAC，

∴BM平分∠ABC，设∠ABM=∠CBM=z，

由（2）可得∠OMB=x+z，∠OBM=y+z=x+z

∴∠OMB=∠OBM，

∴OM=OB

∴△OBM为等腰直角三角形，

∵ ，

∴△OMF≌△OBH（AAS），

∴OF=BH=1，MF=OH=3，

∴M（﹣1，3）

【解析】（1）△AOG的形状是等腰三角形，利用已知条件证明AG=OG即可；（2）接连BC，易证△COD≌△BOE（HL），设∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，利用全等三角形的性质和已知条件证明∠AOB=∠ACB=90°，即可得到AO⊥BO；（3）连BC，作MF⊥x轴于F，BH⊥x轴于H，易证△OMF≌△OBH，OF=BH=1，MF=OH=3，所以M（﹣1，3）．