Question

【题目】如图所示,矩形ABCD中AE平分∠BAD交BC于E, ∠CAE=15°,则下面的结论:①△ODC是等边三角形; ②BC=2AB; ③∠AOE=135°; ④,其中正确结论有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OA=OD=OC=OB．∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=45°．∵∠CAE=15°，∴∠DAC=30°．∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAC=30°，∴∠DOC=60°．∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴①正确；

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴AC=2AB．∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误；

∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°．∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAE=45°．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DOC=60°，DC=AB．∵△DOC是等边三角形，∴DC=OD，∴BE=BO，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣∠OBE）=75°．∵∠AOB=∠DOC=60°，∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正确；

∵OA=OC，∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=SCOE，∴④正确．

故选C．