Question

【题目】综合题
（1）如图，已知△ABC中，AD⊥BC于D， AE为∠BAC的平分线，∠B=50°，∠C=70°，求∠DAE的度数．

（2）已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC（∠C>∠B）．求证：∠DAE= （∠C－∠B）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠B=50°，∠C=70°，

∴∠BAC=60°

∵AE平分∠BAC

∴∠EAC=60°÷2=30°

∵AD⊥BC

∴∠ADC=90°

∴∠DAC=180°－90°－70°=20°

∴∠DAE=∠EAC－∠DAC=30°－20°=10°

（2）解：∵AE平分∠BAC（已知），

∴∠EAC= ∠BAC

∵∠BAC+∠B+∠C=180°

∴∠BAC=180°-∠B-∠C

∴∠EAC= （180°-∠B-∠C）．

∵AD⊥BC（已知），

∴∠ADC=90° 在△ADC中，∠ADC+∠C+∠DAC=180°

∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C（等式性质）=90°-∠C．

∴∠EAD=∠EAC-∠DAC= （180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）

= （180°-∠B-∠C）- （180°-2∠C）= （180°-∠B-∠C-180°+2∠C）= （∠C-∠B）

【解析】（1）根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义和角的和差，求出∠DAE的度数；（2）根据角平分线定义和三角形内角和定理以及角的和差，得到结论.
【考点精析】掌握三角形的“三线”和三角形的内角和外角是解答本题的根本，需要知道1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离；注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内；三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．