Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．

（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OE，

∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，
∵AO=2，∴OE=2，∴EG=2 ，
∴阴影部分的面积= = ．
【解析】（1）要证直线EF与⊙O的位置关系，连接OE，只需证明OE⊥EF。根据等腰三角形的性质证出∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，根据∠ACB=90°得出∠A+∠B=90°，可证得∠AEO+∠BEF=90°，根据切线的判定即可证得结论。
（2）根据圆周角定理可证得∠AED=90°，∠EOD=60°，再利用解直角三角形求出EG的长，然后根据阴影部分的面积=△OEG的面积-扇形EOD的面积，计算即可得出答案。