Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有____．（填序号即可）

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

通过条件根据HL可以得出Rt△ABE≌Rt△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，进而可得出∠DAF的度数；由正方形的性质可以得出EC=FC，又AE=AF，就可以得出AC垂直平分EF；设EC=x，根据直角三角形的有关性质，可以用含x的式子表示出BE，DF，EF，从而可得出结果；利用三角形的面积公式用含x的式子分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．

解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正确），∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正确）．
∵BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC=x，由勾股定理，得

，

AG=AE=EF=×2CG=，

，

，

，

（故④错误）；

∵S△CEF=x2，S△ABE=××=x2，
∴2S△ABE=x2=S△CEF，（故⑤正确）．
综上所述，正确的结论有①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．