Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x－5与x轴分别交于A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，直线AP与y轴正半轴交于点M，交抛物线于点P，直线AQ与y轴负半轴交于点N，交抛物线于点Q，且OM＝ON，过P、Q作直线l

(1) 探究与猜想：

① 取点M(0，1)，直接写出直线l的解析式

取点M(0，2)，直接写出直线l的解析式

② 猜想：

我们猜想直线l的解析式y＝kx＋b中，k总为定值，定值k为__________，请取M的纵坐标为n，验证你的猜想

(2) 如图2，连接BP、BQ．若△ABP的面积等于△ABQ的面积的3倍，试求出直线l的解析式

Answer 1

【答案】（1）①PQ：y＝6x－29，PQ：y＝6x－26；

（2）k＝6；

（3）直线PQ的解析式为y＝6x－21

【解析】试题分析：(1)、①、首先根据二次函数解析式得出点A的坐标，然后根据待定系数法求出直线l的解析式；②、设设M(0，n)，然后分别求出直线AP和AQ的解析式，然后根据直线与抛物线的交点求出点P和点Q的坐标，从而得出直线PQ的解析式，得出k的值；(2)、根据三角形的面积关系得出点P的坐标，从而得出直线PQ的函数解析式.

试题解析：(1) ① P(6，7)、Q(4，－5)，PQ：y＝6x－29

② 设M(0，n) AP的解析式为y＝nx＋n AQ的解析式为y＝－nx－n

联立，整理得x2－(4＋n)x－(5＋n)＝0

∴xA＋xP＝－1＋xP＝4＋n，xP＝5＋n 同理：xQ＝5－n

设直线PQ的解析式为y＝kx＋b

联立，整理得x2－(4＋k)x－(5＋b)＝0 ∴xP＋xQ＝4＋k

∴5＋n＋5－n＝4＋k，k＝6

(3) ∵S△ABP＝3S△ABQ ∴yP＝－3yQ ∴kxP＋b＝－3(kxQ＋b) ∵k＝6 ∴6xP＋18xQ＝－b

∴6(5＋n)＋18(5－n)＝4b，解得b＝3n－30

∵xP·xQ＝－(5＋b)＝－5－3n＋30＝(5＋n)(5－n)，解得n＝3 ∴P(8，27)

∴直线PQ的解析式为y＝6x－21