Question

【题目】如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：①当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON． 证明：如图1，
，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠C0B，
又∵CD∥OB，
∴∠DCO=∠C0B，
∴∠DOC=∠DC0，
∴OD=CD=DM+CM，
∵E是线段OC的中点，
∴CE=OE，
∵CD∥OB，
∴ ，
∴CM=ON，
又∵OD=DM+CM，
∴OD=DM+ON．
②当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．
证明：如图2，
，
由①，可得
OD=DC=CM﹣DM，
又∵CM=ON，
∴OD=DC=CM﹣DM=ON﹣DM，
即OD=ON﹣DM．
【解析】①当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．首先根据OC是∠AOB的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC=∠DC0，所以OD=CD=DM+CM；然后根据E是线段OC的中点，CD∥OB，推得CM=ON，即可判断出OD=DM+ON，据此解答即可．②当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．由①，可得OD=DC=CM﹣DM，再根据CM=ON，推得OD=ON﹣DM即可．