Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2．

（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADC=∠ACB，∠B+∠BAC=90°，∠DCA+∠CAB=90°，

∴∠B=∠ACD，

∴△ABC∽△ACD

（2）解：∵△ABC∽△ACD，

∴ = ，

∴AC2=ADAB=6×8=48，

∴CD= = =2 ，

∴S△ABC= ABCD= × =8 ，

∴S阴=S半圆﹣S△ABC=8 ．

【解析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．（2）先利用△ABC∽△ACD，得AC2=ADAB=48，再利用勾股定理求出CD，根据S阴=S半圆﹣S△ABC即可解决问题．
【考点精析】利用扇形面积计算公式和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．