【题目】定义:对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.
(1)下面四边形是垂等四边形的是____________(填序号)
①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形
(2)图形判定:如图1,在四边形中,
∥
,
,过点D作BD垂线交BC的延长线于点E,且
,证明:四边形
是垂等四边形.
(3)由菱形面积公式易知性质:垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用:在图2中,面积为24的垂等四边形内接于⊙O中,
.求⊙O的半径.
【答案】(1)④;(2)证明过程见解析;③4
【解析】
(1)根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可;
(2)根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形,即可得到AC=DE,再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果;
(3)过点O作,根据面积公式可求得BD的长,根据垂径定理即可得到答案.
(1)①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等,故不是;②矩形对角线相等但不垂直;③菱形的对角线互相垂直但不相等;④正方形的对角线互相垂直且相等,故正方形是垂等四边形;
(2)∵,
,
∴AC∥DE,
又∵∥
,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴AC=DE,
又∵,
∴△BDE是等腰直角三角形,
∴BD=DE,
∴BD=AC,
∴四边形是垂等四边形.
(3)如图,过点O作,
∵四边形是垂等四边形,
∴AC=BD,
又∵垂等四边形的面积是24,,根据垂等四边形的面积计算方法得:
,
又∵,
∴,
设半径为r,根据垂径定理可得:
在△ODE中,OD=r,DE=,
∴,
∴的半径为4.
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【题目】为了创建全国卫生城市,某社区要清理一个卫生死角内的垃圾,租用甲、乙两车运送.若两车合作,各运12趟才能完成,需支付运费共4800元;若甲、乙两车单独运完此堆垃圾,则乙车所运趟数是甲车的2倍;已知乙车每趟运费比甲车少200元.
探究:
(1)分别求出甲、乙两车每趟的运费;
(2)若单独租用甲车运完此堆垃圾,需运多少趟;
发现:若同时租用甲、乙两车,则甲车运x趟,乙车运y趟,才能运完此堆垃圾,其中均为正整数.
(1)当时,
______;当
时,
______;
(2)求y与x之间满足的函数关系式.
决策:在“发现”的条件下,设总运费为w(元).
(1)求w与x之间满足的函数关系式,当x取何值时,w取得最小值;
(2)当且
时,甲车每趟的运费打7折,乙车每趟的运费打9折,当x取何值时,w取得最小值.
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【题目】如图,以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆,∠ABC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=25,BC=,求DE的长.
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【题目】春天来了,石头城边,秦淮河畔,鸟语花香,柳条飘逸.为给市民提供更好的休闲锻炼环境,决定对一段总长为1800米的外秦淮河沿河步行道出新改造,该任务由甲、乙两工程队先后接力完成.甲工程队每天改造12米,乙工程队每天改造8米,共用时200天.
(1)根据题意,小莉、小刚两名同学分别列出尚不完整的方程组如下:
小莉: 小刚:
根据两名同学所列的方程组,请你分别指出未知数x、y表示的意义,然后在方框中补全小莉、小刚两名同学所列的方程组:
小莉:x表示 ,y表示 ;
小刚:x表示 ,y表示 .
(2)求甲、乙两工程队分别出新改造步行道多少米.
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【题目】如图,已知点D为△ABC的边AB上一点
(1)请在边AC上确定一点E,使得S△BCD=S△BCE(要求:尺规作图、保留作图痕迹、不写作法);
(2)根据你的作图证明S△BCD=S△BCE.
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【题目】如图,为半⊙O的直径,
,
是半圆上的三等分点,
,
与半⊙O相切于点
,点
为
上一动点(不与点
,
重合),直线
交
于点
,
于点
,延长
交
于点
,则下列结论正确的是______________.(写出所有正确结论的序号)
①;②
的长为
;③
;④
;⑤
为定值.
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【题目】如图,已知在△ABC中,AB=15,AC=20,tanA=,点P在AB边上,⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时,⊙P恰好与AC边相切;当点P与点B不重合时,⊙P与AC边相交于点M和点N.
(1)求⊙P的半径;
(2)当AP=时,试探究△APM与△PCN是否相似,并说明理由.
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