Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．

（1）求证：AD=DE；
（2）若CE=2，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=BC，

∴D是AC的中点，∠ABD=∠CBD，

∴AD=DE；

（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，

∴∠CED=∠CAB，

∵∠C=∠C，

∴△CED∽△CAB，

∴ = ，

∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，

∴CD= ；

（3）解：延长EF交⊙O于M，

在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，

∴BD=3 ，

∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴ = ，

∴∠BEP=∠EDB，

∴△BPE∽△BED，

∴ = ，

∴BP= ，

∴DP=BD﹣BP= ，

∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，

∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，

∴S△BDE=12，

∴S△DPE= ．

【解析】（1）AD与DE都是弦，因此可证这两条弦所对的劣弧相等，进而可证弧所对的弦相等，由已知很容易根据等腰三角形性质和直径的性质得证；（2）求线段可采用相似法△CED∽△CAB，根据对应边成比例求出CD；（3）由已知底边、高都不易求，可转化为面积比法，即找一个面积易求的三角形，再求二者的比，通常找△DPE的等高三角形，底边在同一条直线上，它们的面积比等于底边长的比.