Question

【题目】（如图（1），在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是射线CD上的一个动点，把△BCE沿BE折叠，点C的对应点为F．

（1）若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求线段CE的长；

（2）若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求线段CE的长；

（3）当射线AF交线段CD于点G时，请直接写出CG的最大值 .

Answer 1

【答案】（1）CE=；（2）CE＝；（3）CG的最大值是4－

【解析】（1）根据垂直平分线的性质，等边三角形的性质求出即可；（2）利用垂直平分线的性质得出FE=EC ，再利用相似三角形的性质进而得出答案；（3）当射线AF交线段CD于点G时求出即可.

解： ∵点F刚好落在线段AD的垂直平分线上，∴FB=FC．

∵折叠 ,∴FB=BC＝3．

∴△FBC是等边三角形，∴∠FBC＝60°, ∠EBC＝30°．

在Rt△EBC，∴CE＝BC＝．

（2）如图（1）∵点F刚好落在线段AB的垂直平分线MN上,

∵折叠，∴FE=EC．

∴BM＝2，在Rt△MFB中，MF=．

∵△MBF∽△NFE，

∴＝．

∴CE＝EN＝．

如图（2）∵折叠 ,∴FE=EC．

同理MF=，FN=3＋．

∵△MBF∽△NFE，∴＝．

∴CE＝EN＝．

（3）CG的最大值是4－．

“点睛”此题主要考查了垂直平分线、等边三角形、矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键.