Question

【题目】三角形两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则此三角形的外接圆半径为________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

先解方程，根据三角形的三边关系可知，方程的两个解都能和已知的两边构建成新的三角形，因此求此三角形的外接圆半径时，有两种情况：第一种情况：三边分别为6、8、10，是直角三角形，所以其斜边就是外接圆的直径，第二种情况：三边分别为6、6、8，等腰三角形，其外接圆的圆心是任意两边垂直平分线的交点，确定其圆心，利用勾股定理列方程可求其半径．

x216x+60=0，

(x10)(x6)=0，

x=10或6，

当第三边为10时,因为

∴此三角形是直角三角形，如图1，

此三角形的外接圆的直径为最大边10，

则此三角形的外接圆半径为5，

当第三边为6时，如图2，

过A作AD⊥BC,垂足为D,作AC的垂直平分线EF,交AC于E,交AD于F,则AF=FC,

∵AB=AC=6，

∴

∴AD是BC的垂直平分线，

∴F是△ABC外接圆的圆心，FC为外接圆的半径，

由勾股定理得：

设FC=x,则AF=x,

由勾股定理得：

x=，

综上所述,则此三角形的外接圆半径为5或.

故答案为：或