Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，连接AC、BD，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN

(1)求证：MN⊥BD.

(2)若∠DAC=62°，∠BAC=58°，求∠DMB

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) 120o

【解析】

（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM，再由等腰三角形三线合一的性质即可得到结论；

（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM＝BM，DM＝AM,再根据等边对等角求∠ABM和∠ADM的度数，再根据四边形内角和为360o求得∠DMB的度数.

（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AC，DM=AC，
∴BM=DM，

∴△BDM是等腰三角形，
又∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD（等腰三角形三线合一）；

（2）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，

∴BM=AM=AC，DM=AM=AC，

又∵∠BAC=58°，∠DAC=62°，

∴∠ABM＝∠BAC=58°，∠ADM＝∠DAC=62°，

又∵四边形ABMD的内角和为360o,

∴∠DMB=360o-2(58°+62°)=120o.