Question

【题目】如图1，在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

（1）求点B的坐标；

（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

Answer 1

【答案】(1)（4，4）；(2)见解析;(3)1.

【解析】

（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根据勾股定理即可求得AB与OA的长，即可求得点B的坐标；

（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等边三角形，可得∠ADB=∠OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得BC∥AE，继而可得四边形ABCD是平行四边形；

（3）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AG=CG=8-x，然后根据勾股定理可得方程（8-x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的长．

在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8，

∴AB＝OB＝×8＝4，

OA＝OB-AB

∴OA= ==4

∴点B的坐标为（4，4）；

（2）证明：∵∠OAB＝90°，

∴AB⊥x轴，

∵y轴⊥x轴，

∴AB∥y轴，即AB∥CE，

∵∠AOB＝30°，

∴∠OBA＝60°，

∵DB＝DO＝4

∴DB＝AB＝4

∴∠BDA＝∠BAD＝120°÷2＝60°，

∴∠ADB＝60°，

∵△OBC是等边三角形，

∴∠OBC＝60°，

∴∠ADB＝∠OBC，

即AD∥BC，

∴四边形ABCE是平行四边形；

（3）设OG的长为x，

∵OC＝OB＝8，

∴CG＝8﹣x，

由折叠的性质可得：AG＝CG＝8﹣x，

在Rt△AOG中，AG2＝OG2+OA2，

即（8﹣x）2＝x2+（4）2，

解得：x＝1，

即OG＝1．