Question

【题目】如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，F为BE上一点，连接DF，过F作FG⊥DF交BC于点G，连接BD交FG于点H，若FD = FG， ，BG = 4，则GH的长为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N，则MN⊥AD，过点A作AP⊥BD于点P，延长DF交AB于点K，过点K作KQ⊥BD于点Q，如图所示。

∵FD⊥FG，

∴∠DFG=90°，

∴∠DFN+∠MFG=90°，

∵∠DNF=90°，

∴∠NDF+∠DFN=90°，

∴∠NDF=∠MFG，

在DNF和△FMG中，

，

∴△DNF≌△FMG(AAS)，

∴DN=FM，NF=MG.

∵∠BAD=90°,BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE=45°，

又∵FM⊥BM，

∴FM=BM，

∵BF=，

∴BM=FM=3，MG=BGBM=43=1，

∴NF=MG=1，AB=NM=4，AD=AN+ND=BM+FM=6，

∴BD=.

由面积公式可知：S△ABD=BDAP=ABAD,即AP=4×6，

∴AP=，

∵NF∥AB，

∴△DNF∽△DAK，

∴，

∴AK=2NF=2,DK= =2,DF==.

∴BK=ABAK=42=2，

∵KQ∥AP，

∴△BKQ∽△BAP，

∴,即, ，

∴KQ=，

∴BQ===，

∴DQ=BDBQ==，

∵∠DFH=∠DQK=90°，∠FDH=∠QDK，

∴△DFH∽△DQK，

∴，

即，

∴FH=，

∴GH=FGFH==.

故答案为：