Question

【题目】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求 的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

∵ME=1，AM=2，AE= ，

∴ME2+AE2=AM2=4，

∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．

又∵MN∥BC，

∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．

又∵OB是⊙O的半径，

∴BC是⊙O的切线

（2）解：如图，连接ON．

在Rt△AEM中，sinA= = ，

∴∠A=30°．

∵AB⊥MN，

∴ = ，EN=EM=1，

∴∠BON=2∠A=60°．

在Rt△OEN中，sin∠EON= ，

∴ON= = ，

∴ 的长度是： = ．

【解析】（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证明OB⊥BC即可；（2）首先，在Rt△AEM中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°； 其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON= = ；
最后，由弧长公式l= 计算 的长．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和切线的判定定理的相关知识点，需要掌握如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．