Question

【题目】我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx（a≠0）
（1）对于这样的抛物线：
当顶点坐标为（1，1）时，a=；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是
（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（k≠0）上，请用含k的代数式表示b；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1 ， A2 ， …，An在直线y=x上，横坐标依次为1，2，…，n（为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1 ， B2 ， …，Bn ， 以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn ， 若这组抛物线中有一条经过Dn ， 求所有满足条件的正方形边长．

Answer 1

【答案】
（1）﹣1；a=﹣ 或am+1=0
（2）

解：∵a≠0，

∴y=ax2+bx=a（x+ ）2﹣ ，

∴顶点坐标是（﹣ ，﹣ ）．

又∵该顶点在直线y=kx（k≠0）上，

∴k（﹣ ）=﹣ ．

∵b≠0，

∴b=2k

（3）

解：∵顶点A1，A2，…，An在直线y=x上，

∴可设An（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）．

∴a=﹣ ，b=2，

∴由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=﹣ x2+2x．

∵四边形AnBnCnDn是正方形，

∴点Dn的坐标是（2n，n），

∴﹣ （2n）2+22n=n，

∴4n=3t．

∵t、n是正整数，且t≤12，n≤12，

∴n=3，6或9．

∴满足条件的正方形边长是3，6或9

【解析】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴ ，
解得， ，
即当顶点坐标为（1，1）时，a=﹣1；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时， ，
解得，
则a与m之间的关系式是：a=﹣ 或am+1=0．
故答案是：﹣1；a=﹣ 或am+1=0．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．