Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，

∴四边形ADCE是平行四边形，

又∵∠ACB=90°，D是AB的中点，

∴CD= AB=BD=AD，

∴平行四边形ADCE是菱形

（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：

DF即为菱形ADCE的高，

∵∠B=60°，CD=BD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，

∵CE∥AB，

∴∠DCE=∠BDC=60°，

又∵CD=BC=6，

∴在Rt△CDF中，DF=CDsin60°=6× =3 ．

【解析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论；（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F；先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt△CDF中，由三角函数求出DF即可．