Question

【题目】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：

（1）写出图2所表示的数学等式；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；

（3）小明同学用3张边长为a的正方形，4张边长为b的正方形，7张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？

（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+7b）（4a+9b）长方形，那么x+y+z=　 　．

Answer 1

【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）45；（3）3a+4b ；（4）156

【解析】

（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；

（2）将a+b+c=11，ab+bc+ac=38代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；

（3）先列出长方形的面积的代数式，然后分解代数式，可得到矩形的两边长；

（4）长方形的面积xa2+yb2+zab=（5a+7b）（4a+9b），然后运算多项式乘多项式法则求得（5a+7b）（4a+9b）的结果，从而得到x、y、z的值．

解：（1）正方形的面积可表示为=（a+b+c）2；
正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．

（2）a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc，

=112-2×38，

=45；

（3）长方形的面积=3a2+7ab+4b2=（3a+4b）（a+b）．
所以长方形的边长为3a+4b和a+b，
所以较长的一边长为3a+4b；

（4）∵长方形的面积=xa2+yb2+zab=（5a+7b）（4a+9b）

= 20a2+63b2+73ab，

∴x=20，y=63，z=73．

∴x+y+z=20+63+73=156．

故答案为：156．