Question

【题目】如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD= .

（1）求证：CD∥BF；

（2）求⊙O的半径；

（3）求弦CD的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）2（3）

【解析】解：（1）∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF …………………1分

∵AB⊥CD

∴CD∥BF………………………………………………2分

（2）连结BD

∵AB是直径 ∴∠ADB=90° ………………………………………3分

∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=…………………4分

∴cos∠BAD=

又∵AD=3 ∴AB=4

∴⊙O的半径为2 ……………………………………5分

（3）∵cos∠DAE= AD=3∴AE= …………………………6分

∴ED= ……………………………………………7分

∴CD=2ED= ………………………………………………………8分

（1）由平行公理可得

（2）连结BD，利用三角函数求得通过已知，即可求得⊙O的半径

（3）利用三角函数求得AE的长，通过勾股定理求得ED的长，从而求得弦CD的长