Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，

，

解得，a=4，b=﹣3，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3

（2）解：∵点C在y轴上，

所以C点横坐标x=0，

∵点P是线段BC的中点，

∴点P横坐标xP= = ，

∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，

∴yP= ﹣3= ，

∴点P的坐标为（ ， ）

（3）解：∵点P的坐标为（ ， ），点P是线段BC的中点，

∴点C的纵坐标为2× ﹣0= ，

∴点C的坐标为（0， ），

∴BC= = ，

∴sin∠OCB= = =

【解析】（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；（3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB= 可得结果．
【考点精析】利用抛物线与坐标轴的交点和解直角三角形对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．