Question

【题目】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，
求证：AE2+AD2=2AC2 ．

Answer 1

【答案】证明：连接BD，

∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形

∴∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，EC=DC，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）

∴BD=AE，∠BDC=∠E，

∵∠E+∠CDE=90°，

∴∠BDC+∠CDE=90°，

即∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，BD2+AD2=AB2，

∵AB2=2AC2，

∴AE2+AD2=2AC2．

【解析】连接BD,根据等腰直角三角形的性质得出∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，EC=DC，进而得出∠ACE=∠BCD，，然后利用SAS判断出△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质得出BD=AE，∠BDC=∠E，从而得出∠ADB=90°，然后利用勾股定理及等量代换得出结论。
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．