Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，OE，BD，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，

∴DE=BE，

在△OBE和△ODE中，

，

∴△OBE≌△ODE（SSS），

∴∠ODE=∠ABC=90°，
∴OD⊥DE

则DE为圆O的切线；

（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴BC= AC，

∵BC=2DE=4，

∴AC=8，

又∵∠C=60°，DE=CE，

∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，

则AD=AC﹣DC=6．

【解析】（1）方法一、要证明DE是半圆⊙O的切线．由已知可知点D在半圆上，因此连接半径OD，再证明OD⊥DE，还需连接OE，BD， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得DE=BE，从而可证明△OBE≌△ODE，得出∠ODE=∠ABC=90°，即可证得结论；方法二、或先证DE=BE，得出∠BDE=∠DBE，再由OB=OD得出∠OBD=∠ODB，而∠ABC=90°=∠OBD+∠DBE，继而可知∠BDE+∠ODB=90°，得出OD⊥DE，即可证得结论。
（2）由已知易求出BC的长，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AC的长，再证明△DEC为等边三角形，从而可求得结果。
【考点精析】掌握含30度角的直角三角形和直角三角形斜边上的中线是解答本题的根本，需要知道在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．