Question

【题目】动手操作：请按要求作图．（规范作图，保留作图痕迹即可，不要求尺规作图）

（）如图（），是内一定点， 为射线边上一定点，请在射线上找一点，使得最小．

（）如图（），是内一定点，点、分别为射线、边上两个动点，请作出使得最小的点和点．

（）如图（），是内一定点，点、分别为射线、边上两个动点，请作出使得最小的点和点．

拓展应用：

（）如图（），为锐角三角形， ， ， 的面积为，点、、分别为三边、、上的三个动点，请在图中作出满足条件的周长最小的，并求出周长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）作图见解析， 的周长有最小值为11.

【解析】试题分析：（1）作点P关于直线AB的对称点P^'，连接P^' F交AB于E，则此时PE+EF最小；

（2）作点P关于直线AB的对称点M，连接MP交AB于点N，过点M作MF⊥BC于F交AB于E，则此时PE+EF最小；

（3）作点P关于直线AB的对称点M，关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于E，交BC于F，则此时PE+EF+PE最小；

（4）作点P关于线段AB的对称点M，关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于E，交BC于点F，则此时△PEF的周长为MN的长度．

试题解析：解：（1）如图①，作点P关于直线AB的对称点P^'，连接P^' F交AB于E，则此时PE+EF最小；

（）如图②，作点P关于直线AB的对称点M，连接MP交AB于点N，过点M作MF⊥BC于F交AB于E，则此时PE+EF最小；

（3）如图③，作点P关于直线AB的对称点M，关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于E，交BC于F，则此时PE+EF+PE最小；

（4）如图④，作点P关于线段AB的对称点M，关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于E，交BC于点F，则此时△PEF的周长为MN的长度．

∵∠ABC=30°，∴∠MBN=60°且BM=BP=BN，∴△MBN为等边三角形，∴当BP⊥AC时，MN有最小值，即△PEF的周长有最小值， ．