Question

【题目】已知，如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，延长AD到点E，连接BE、CE，

∠ABD+∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列结论：①△ABD为等腰三角形；②AE=AC；③BE=CE=CD；④CB平分∠ACE．其中正确的结论个数有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

可根据证△ABF≌△△ADF推出AB=AD，得出△ABD为等腰三角形；可根据同弦所对的圆周角相等点A、B、C、E共圆，可判出BE=CE=CD，根据三角形内角和等于180°，可判出AE=AC；求出∠7=90°﹣∠2，根据∠1=∠4=∠2推出∠4≠∠7，即可得出BC不是∠ACE的平分线．

解：作AF平分∠BAD，

∵∠BAD=∠3，∠ABD+∠3=90°，

∴∠BAF=∠3=∠DAF，

∴∠ABF+∠BAF=90°

∴∠AFB=∠AFD=90°，

在△BAF和△DAF中

∴△ABF≌△ADF（ASA），

∴AB=AD，∴①正确；

∵∠BAD=∠2=∠3，

∴点A、B、E、C在同一个圆上，

∴∠BAE=∠4=∠3，∠ABC=∠6，

∴BE=CE，

∵∠5=∠ADB=∠ABD，∠BAE=∠4，

∴∠5=∠6，

∴CE=CD，

即CD=CE=BE，∴③正确；

∵∠6+∠2+∠ACE=180°，∠6=∠5=∠ADB=∠ABD=90°﹣∠2．

∴∠ACE=180°﹣∠6﹣∠2=90°﹣∠2，

∴∠ACE=∠6，

∴AE=CE，∴②正确

∵∠5=∠2+∠7=90°﹣∠2，

∴∠7=90°﹣∠2，

∵∠BAD=∠4=∠2，

∴∠4≠∠7，∴④错误；

故选C．