Question

【题目】如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，连接BE并延长交AD延长线于点F，若AB＝AF．

（1）求证：点D是AF的中点；

（2）若∠F＝60°，CD＝6，求□ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）SABCD＝9．

【解析】

（1）先根据平行四边形的性质得出BC＝AD，由等腰三角形三线合一的性质得出BE＝EF，利用ASA证明△BCE≌△FDE，得到BC＝DF．等量代换即可证明AD＝DF，即点D是AF的中点；

（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABF是等边三角形，再证明SABCD＝S△ABF．然后由S△ABF＝BFAE列式计算即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD，CD＝AB，BC∥AD，

∴∠CBE＝∠F．

∵AB＝AF，AE平分∠BAF，

∴BE＝EF，AE⊥BF．

在△BCE与△FDE中，

，

∴△BCE≌△FDE（ASA），

∴BC＝DF．

∵BC＝AD，

∴AD＝DF，

即点D是AF的中点；

（2）解：∵∠F＝60°，AB＝AF，

∴△ABF是等边三角形．

由（1）可知△BCE≌△FDE，

∴SABCD＝S△ABF．

∵AF＝BF＝AB＝CD＝6，∠F＝60°，∠AEF＝90°，

∴AE＝AFsin∠F＝6×＝3，

∴S△ABF＝BFAE＝×6×3＝9，

∴SABCD＝9．