Question

【题目】如图①，在中， ， ， ． 是经过点的直线， 于， 于．

（1）求证： ．

（2）若将绕点旋转，使与相交于点 (如图②)，其他条件不变，

求证： ．

（3）在(2)的情况下，若的延长线过的中点（如图③），连接，

求证： ．

Answer 1

【答案】答案见解析

【解析】试题分析：（1）首先证明∠DBA＝∠EAC，再证明△ADB≌△CEA，然后根据全等三角形的性质可得BD=AE；

（2）首先证明∠BAD=∠ACE，再证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE；

（3）首先证明△ACF≌△ABP，然后再证明△BFG≌△BPG，再根据全等三角形对应角相等可得∠BPG=∠BFG，再根据等量代换可得结论∠1=∠2．

试题解析：

（1）∵BD⊥MN，CE⊥MN

∴∠BDA＝∠AEC＝90°

∴∠DBA+∠DAB＝90°

∵∠BAC＝90°

∴∠DAB +∠EAC＝90°

∴∠DBA＝∠EAC

∵AB = AC

∴△ADB≌△CEA（AAS）

∴BD＝AE

（2）∵BD⊥MN，CE⊥MN

∴∠BDA＝∠AEC＝90°

∴∠DBA+∠DAB＝90°

∵∠BAC＝90°

∴∠DAB +∠EAC＝90°

∴∠DBA＝∠EAC

∵AB = AC

∴△ADB≌△CEA（AAS）

∴BD＝AE

（3）过B作BP//AC交MN于P,如图所示

∵BP//AC

∴∠PBA+∠BAC＝90°

∵∠BAC＝90°

∴∠PBA＝∠BAC＝90°

由（2）得：△ADB≌△CEA

∴∠BAP＝∠ACF

∵AB＝AC

∴△ACF≌△ABP（ASA）

∴∠1＝∠3

∴AF=BP

∵AB的中点F

∵BF＝AF

∴BF＝BP

∵∠ABC=45°

又∵∠PBA＝90°

∴∠PBG＝∠PBA－∠ABC =45°

∴∠ABC＝∠PBG

∵BG=BG

∴△BFG≌△BPG（SAS）

∴∠2＝∠3

∵∠1＝∠3

∴∠1＝∠2