Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF＝2AE；
（2）若CD＝ ，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴ ∠ABD=∠BAD=45°．∴ AD=BD．

∵ AD⊥BC，BE⊥AC，

∴ ∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD＝90o

∴ ∠CAD=∠CBE．

又∵ ∠CDA=∠FDB=90°，

∴ △ADC≌△BDF． ∴ AC=BF．

∵ AB=BC，BE⊥AC，

∴ AE=EC，即AC＝2AE．∴ BF＝2AE

（2）解：∵ △ADC≌△BDF，∴ DF=CD= ．

∴ 在Rt△CDF中，CF＝ ＝2．

∵ BE⊥AC，AE=EC，∴ AF=FC=2．

∴ AD=AF+DF=2+

【解析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用ASA证明 △ADC≌△BDF．根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证；
（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解