Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于F，交BC于E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，

（1）求∠ACB的度数；
（2）HE= AF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∵∠BAC=45°，

∴∠ACB=∠ABC= （180°﹣∠BAC）= （180°﹣45°）=67.5°

（2）解：连结HB，

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，BE=CE，

∴∠CAE+∠C=90°，

∵BD⊥AC，

∴∠CBD+∠C=90°，

∴∠CAE=∠CBD，

∵BD⊥AC，D为垂足，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠DAB=45°，

∴∠DBA=45°，

∴∠DBA=∠DAB，

∴DA=DB，

在Rt△BDC和Rt△ADF中，

∴Rt△BDC≌Rt△ADF （ASA），

∴BC=AF，

∵DA=DB，点G为AB的中点，

∴DG垂直平分AB，

∵点H在DG上，

∴HA=HB，

∴∠HAB=∠HBA= ∠BAC=22.5°，

∴∠BHE=∠HAB+∠HBA=45°，

∴∠HBE=∠ABC﹣∠ABH=67.5°﹣22.5°=45°，

∴∠BHE=∠HBE，

∴HE=BE= BC，

∵AF=BC，

∴HE= AF

【解析】（1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可；（2）证△ADF≌△BDC，推出AF=BC，求出HE=BE=CE，即可得出答案．