Question

【题目】如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）求证：AC2=CMCF．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接OB，只要证明∠OBE=90°即可求解；

（2）连接MB，易证∠CMB=∠CBF，则可以得到△CMB∽△CBF，根据相似三角形对应边的比相等即可得证．

试题解析：（1）连结OB，

∵△ABC和△BDE都是等边三角形，

∴∠ABC=∠EBD=60°，

∴∠CBE=60°，∠OBC=30°，

∴∠OBE=90°，

∴BE是⊙O的切线；

（2）连结MB，则∠CMB=180°-∠A=120°

∵∠CBF=60°+60°=120°

∴∠CMB=∠CBF

∵∠BCM=∠FCB

∴△CMB∽△CBF

∴，即CB2=CMCF，

∵AC=CB

∴AC2=CMCF．