Question

【题目】如图，已知点 是双曲线 在第三象限分支上的一个动点，连接 并延长交另一分支于点 ，以 为边作等边三角形 ，点 在第四象限内，且随着点 的运动，点 的位置也在不断变化，但点 始终在双曲线 上运动，则 的值是_______________．

Answer 1

【答案】

【解析】因为双曲线 的图象关于原点对称，

所以点 与点 关于原点对称．

所以 ．连接 ，如图所示．

因为 是等边三角形， ，

所以 ， ．

所以 ．

所以 ．

过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为 .

因为 ， ， ，

所以 ， ．

所以 ．相似比 ，

所以面积比 ．

因为点 在第一象限，设点 坐标为 ，

因为点 在双曲线 上，

所以 ，

所以 ．

所以设点 坐标为 ，

因为点 在双曲线 上，

所以 ．

因为点 在第四象限，

所以 ， ．

所以 ．

所以 ．