Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．

（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AE，如图，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠AEC=90°，

∴AE⊥BC，

而AB=AC，

∴BE=CE

（2）连结DE，如图，

∵BE=CE=3，

∴BC=6，

∵∠BED=∠BAC，

而∠DBE=∠CBA，

∴△BED∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

∴BA=9，

∴AC=BA=9．

【解析】（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．
【考点精析】利用等腰三角形的性质和圆周角定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．