Question

【题目】如图.△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D. F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是_____

Answer 1

【答案】2

【解析】

由AF=BF得到F为AB的中点，又DF垂直平分AC，得到D为AC的中点，可得出DF为三角形ABC的中位线，根据三角形中位线定理得到DF平行于CB，且DF等于BC的一半，由BC的长求出DF的长，由两直线平行同旁内角互补得到∠C=90°，同时由DE与EB垂直，ED与DC垂直，根据垂直的定义得到两个角都为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形BCDE为矩形，在直角三角形ADF中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值，由∠A=30°，DF的长，求出AD的长，即为DC的长，由矩形的长BC于宽CD的乘积即可求出矩形BCED的面积．

∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，

∴DF为三角形ABC的中位线，

∴DE∥BC,DF=BC，

又∠ADF=90°，

∴∠C=∠ADF=90°，

又BE⊥DE，DE⊥AC，

∴∠CDE=∠E=90°，

∴四边形BCDE为矩形，

∵BC=2,∴DF= BC=1，

在Rt△ADF中,∠A=30°，DF=1，

∴tan30°= ,即AD= ，

∴CD=AD=，

则矩形BCDE的面积S=CDBC=2.

故答案为：2