Question

【题目】如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为（20，0），点B在第一象限内，BO=10，sin∠BOA= ．
（1）在图中，求作△ABO的外接圆（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹）；
（2）求点B的坐标与cos∠BAO的值；
（3）若A，O位置不变，将点B沿x轴向右平移使得△ABO为等腰三角形，请求出平移后点B的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示：

（2）解：如图，作BH⊥OA，垂足为H，

在Rt△OHB中，∵BO=10，sin∠BOA= ，

∴BH=6，

∴OH=8，∴点B的坐标为（8，6），

∵OA=20，OH=8，∴AH=12，

在Rt△AHB中，∵BH=6，

∴AB= =6

∴cos∠BAO=

（3）解：①当BO=AB时，∵AO=20，∴OH=10，

∴点B沿x轴正半轴方向平移2个单位，

②当AO=AB′时，∵AO=20，∴AB′=20，

过B′作B′N⊥x轴，

∵点B的坐标为（8，6），

∴B′N=6，∴AN= =2 ．

∴点B沿x轴正半轴方向平移（2 +12）个单位，

③当AO=OB″时，

∵AO=20，

∴OB″=20，

过B″作B″P⊥x轴．

∵B的坐标为（8，6），

∴B″P=6，

∴OP= =2 ，

∴点B沿x轴正半轴方向平移（2 ﹣8）个单位，

综上所述当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、（2 +12）个单位，或（2 ﹣8）个单位时，△ABO为等腰三角形

【解析】（1）作OB，AB的垂直平分线交于一点M，以点M为圆心，MA为半径画圆，则圆M即为所求；（2）如图，作BH⊥OA，垂足为H，在Rt△OHB中，由BO=10，sin∠BOA= ，得到BH=6，OH=8，求出点B的坐标为（8，6），根据OA=20，OH=8，求出AH=12，在Rt△AHB中，由BH=6，得到AB= =6 ，求出cos∠BAO= ；（3）①当BO=AB时，由AO=20，得到OH=10，点B沿x轴正半轴方向平移2个单位；②当AO=AB′时，由AO=20，得到AB′=20，过B′作B′N⊥x轴，由点B的坐标为（8，6），得到B′N=6，AN= =2 ．求得点B沿x轴正半轴方向平移（2 +12）个单位，③当AO=OB″时，由AO=20，得到OB″=20，过B″作B″P⊥x轴．由B的坐标为（8，6），得到B″P=6，OP= =2 ，点B沿x轴正半轴方向平移（2 ﹣8）个单位．