Question

【题目】抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④方程以有两个的实根，其中正确的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

抛物线开口向上a>0，对称轴在y轴左侧，b>0，抛物线和y轴负半轴相交，c<0，则abc<0，由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，所以当x=1时，y>0，则a+b+c>0；由抛物线的顶点为D（-1，-3）得a-b+c=-3，由抛物线的对称轴为直线得b=2a，所以a-c=3；根据二次函数的最值问题，当x=-1时，二次函数有最小值为-3，即b2-4ac=-12a，b2-4a（c+3）=b2-4ac-12a=-24a，所以说方程ax2+bx+c+3=0无实数根．

∵抛物线开口向上，

∴a>0，

∵对称轴在y轴左侧，

∴b>0，

∵抛物线和y轴负半轴相交，

∴c<0，

∴abc<0，故①错误；

∵当x=1时，y>0，

∴y=a+b+c>0，故②错误；

∵抛物线的顶点为D(1,3)

∴ab+c=3，

∵抛物线的对称轴为直线得b=2a，

把b=2a代入ab+c=3，得a2a+c=3，

∴ca=3，

∴ac=3，故③正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c有最小值为3，

∴b24ac=12a，

∴方程ax2+bx+c+3=0的判别式△=b24a(c+3)=b24ac12a=0，

∴方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根，故④正确；

故选：B.