Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A、C，PC交AB的延长线于点D.DE⊥PO交PO的延长线于点E.

(1)求证：∠EPD＝∠EDO；

(2)若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) OE＝.

【解析】试题分析：（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠EPD=∠EDO；

（2）连接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长．

试题解析：（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，

∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，

∴∠PAO=90°，

∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，

∴∠APO=∠EDO，

∴∠EPD=∠EDO；

（2）解：连接OC，

∴PA=PC=6，

∵tan∠PDA=，

∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，

∴CD=4，

∵tan∠PDA=，

∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，

∵∠EPD=∠ODE，

∴△OED∽△DEP，

∴，

∴DE=2OE

在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52，

∴OE=．